线性变换：
- 直线在变换后仍然保持为直线
- 原点必须保持固定 总的来说，应该把线性变换看作是“保持网格线平行且等距分布”的变换（keeping grid lines parallel and evenly spaced）
如何使用数值描述线性变换？ 实际上，你只需要记录两个基向量 i, j 变换后的位置，其他向量都会随之而动
具体来说，举个例子：现在在以 i，j为基的空间中有一个向量 v [-1, 2]，那么实际上向量 v 可以被表示为
$$ \vec v = -1 \vec i + 2 \vec j $$
现在进行一些变换，根据 ‘保持网格线平行且等距分布’ 可以推论出，变换后的向量 v 的位置，就是
$$ \vec v = -1 * Transformed \vec i + 2 * Transformed \vec j $$
而这就意味着，你可以只根据变换后的基向量 i 和 j 推断出变换后的 v，那么比如变换后的 i 落在 [1, -2]， j 落在 [3, 0] 那么
$$ Transformed \vec v = -1 \begin{bmatrix} 1 \ -2 \ \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 3 \ 0 \ \end{bmatrix} $$
也就是说，只要记录了变换后的 i 和 j，就可以推断出任意向量在变换后的位置，甚至完全不必清楚变换本身到底做了什么
由此可以得出一个结论：一个二维线性变换仅有四个数字完全确定，一组基变换后的坐标
通常将这些变换后的坐标表示为一个矩阵，比如 $$ \begin{bmatrix} 1\ \ 3\ -2\ \ 0\ \end{bmatrix} $$ 你可以把它的列理解为两个特殊的向量，即变换后的 i 和 j。这个矩阵包含了线性变换的信息。
那么现在有一个描述线性变换的矩阵，以及一个给定向量，你想知道线性变换对这个向量的影响，怎么做？
$$ \begin{bmatrix} 1\ \ 3\ -2\ \ 0\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\ y\ \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1\ -2\ \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 3\ 0\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1x + (-2)y\ 3x + 0y\ \end{bmatrix} $$
这其实就是矩阵向量乘法，而矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径 换一种看法：可以把矩阵的列看作变换后的基向量，把矩阵向量乘法看作它们的线性组合
去理解矩阵很重要的一点就是，每当你看到一个矩阵，你都可以把它解读为对空间的一种特定变换。
两个矩阵相乘就是两个线性变换相继作用。
Question1: 矩阵相乘时，其顺序到底影响着什么 Question2: 矩阵乘法的为什么适用结合律
第一个问题，比如现在有两个矩阵相乘 $$ M1 * M2 * M3 : \begin{bmatrix} 1\ \ 0\ 2\ \ 3\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\ \ 1\ 1\ \ 0\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4\ \ 1\ -1\ \ -3\ \end{bmatrix} $$
根据上面所说的，多个矩阵相乘就表示着多个线性变换相继作用，其作用顺序是从右至左的： 先进行 M3 变换，然后 M2 变换，最后 M1 变换，注意变换的先后顺序必然是会对最终结果造成影响的。 那么为什么却适用结合律呢，你可以通过严谨的算术公式去推到证明，这里你也可以试着用另一个思路去理解，那么根据上面所说
M1 * M2 * M3
# 先进行 M3 变换，然后 M2 变换，最后 M1
M1 * (M2 * M3)
# 这个表示先进行 M3 变换和 M2 变换再进行 M1 变换
(M1 * M2) * M3
# 这个表示先进性 M3 变换，然后在进行 M2 与 M1 复合变换的结果变换可以看出，这三种变换其实并没有本质区别
三维矩阵相乘在部分领域有着非常重要的应用，比如计算机图形学与机器人学